# 经济学的数学史 > 如果让经济学和数学再共生上一个半世纪，那谁能想象它将产生什么样的变化。——史树中 ## 推荐理由 - **视角**：史树中老师是纯数学背景出生。本书其实是面向数学专业的经济学数学科普。有趣的学科立场在于——你会发现数学家一般会尽力回避社会科学的规范分析，非数理的名词的解释。 - **阅读门槛**：中级微观经济学难度，但是由于是面向数学学生群体，部分数学超过中级。例如中级微观一般是用拉表格的形式介绍阿罗不可能定理，而本书直接使用的泛函。 - **学科史**：本书可以看作数学在经济学中的发展史，很多人虽然学完了微观却不一定能理顺其中数学工具的发展关系。例如很多人对古诺、瓦尔拉斯、阿罗的贡献，只是知道教材上的一两道例题而已。学科史能弥补中间的空白，了解大师们的传承过程。 > 正如我在 [《经济学的自负：最近的一些想法 》](https://blog.huaxiangshan.com/zh-cn/posts/fs3/#center%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AD%A6%E5%A4%9A%E5%B0%91center)中提到的那样——我认为学科史的学习非常重要。了解数学与经济结合的历史也很重要。 > > 如果连中级的美感都没去感受，就沉浸在高级的数学技巧中，我觉得很难走得远。因为经济思想早在中级就渗透完了，高级是中级的精准表达和模型的一般化推广。 > > 回顾经济学家的生平其实是很有意思的事。就像大家沉迷于锐评当代的经济学家，八卦学术新星的教职去向，在数理经济史中，你也可以看到如此多耳熟能详的名字，都曾在论文中默默无闻，直到被后继者挖出来，心血才得到回报。 - **意识形态**：在那个年代，使用数理工具分析经济学被认为带有资本主义色彩。全书充满这种时代特色，作者必须强调我们是批判性地看待，并且插入苏联社会主义数理经济学的相关论述。这种时代气息让我感觉很新奇😂。 ## 历史回顾 > 数学和经济学融合是一个曲折的过程，大量的天才因为数学太好，在世时没有被同时代的人所重视。 17 世纪。[威廉配第](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E9%85%8D%E7%AC%AC)（William Petty）《政治算术》。此时刚开始运用数字。 19 世纪。 **函数的使用**：[古诺](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%8F%E5%B0%94%C2%B7%E5%8F%A4%E8%AF%BA)（Charles-François Gounod）[^3] （巴黎师高的学生，拉普拉斯和泊松的学生）《财富理论的数学原理》。很多人不能接受书中价格需求函数的数学表达，因此古诺又写了一个回避数学的版本（但依旧不火）。其去世 80 年后贡献才被肯定。 **边际分析的先驱**： [戈森](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%AB%E7%88%BE%E6%9B%BC%C2%B7%E6%B5%B7%E5%9B%A0%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E6%88%88%E6%A3%AE)（Hermann Heinrich Gossen）[^1]因为数学太好结果其分析在当世没有被接受。奥地利学派创始人[门格尔](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E7%88%BE%C2%B7%E9%96%80%E6%A0%BC%E7%88%BE)（Carl Menger）由于不会微积分，自己用感觉描述边际分析，结果影响力很大。奥地利学派之后基本没有什么积极运用数学的经济学家了。 [杰文斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%88%A9%C2%B7%E6%9D%B0%E6%96%87%E6%96%AF)（William Stanley Jevons）《政治经济学的一般数学原理的注记》（1862）、瓦尔拉斯（Léon Walras）（洛桑学派开创者）《交换的一种数学原理》。他们都会微积分，[瓦尔拉斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%8E%B1%E6%98%82%C2%B7%E7%93%A6%E5%B0%94%E6%8B%89%E6%96%AF)数学比杰文斯更好。 > 门格尔、杰文斯、瓦尔拉斯都是各自独立思考起了边际分析，不过最后他们发现戈森是最早的，只是一直没被重视。 **数理模式的扩张**：瓦尔拉斯的一般均衡横空出世。证明存在价格使得市场供求平衡。不过瓦尔拉斯数学还不够好，他认为变量数等于方程数就有解，没有考虑方程组的秩。虽然证明不严谨，但思想的影响依旧深远。冯诺依曼也是基于一般均衡思考起了博弈论。 瓦尔拉斯提出一般均衡理论 80 年后，[德布罗](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%91%E6%8B%89%E5%BE%B7%C2%B7%E5%BE%B7%E5%B8%83%E9%AD%AF) （Gérard Debreu）《价值理论，经济均衡的一种公理化分析》（1959）才严格证明了一般均衡存在性。其和布劳威不动点是充要条件。 **边际效用学派二代**：[埃奇沃思](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E6%9C%97%E8%A5%BF%E6%96%AF%C2%B7%E4%BC%8A%E8%A5%BF%E5%BE%B7%E7%BD%97%C2%B7%E5%9F%83%E5%A5%87%E6%B2%83%E6%80%9D) 《数学心理学》、马歇尔《经济学原理》（[马歇尔](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E5%B0%94%E5%BC%97%E9%9B%B7%E5%BE%B7%C2%B7%E9%A9%AC%E6%AD%87%E5%B0%94) （Alfred Marshall）[^4]也是数学出身，是剑桥学派代表）。[凯恩斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%BF%B0%C2%B7%E6%A2%85%E7%BA%B3%E5%BE%B7%C2%B7%E5%87%AF%E6%81%A9%E6%96%AF) （John Maynard Keynes）[^2]是马歇尔的学生。 **洛桑学派二代**：[帕累托](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E5%B0%94%E5%BC%97%E9%9B%B7%E5%A4%9A%C2%B7%E5%B8%95%E7%B4%AF%E6%89%98) （Vilfredo Federico Damaso Pareto）（做了 20 年铁路采矿工程师） **美国边际学派**： [费雪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%96%87%C2%B7%E8%B4%B9%E9%9B%AA)[^5]（Irving Fisher） 启发了凯恩斯。 **奥地利学派后续**：门格尔的儿子成为了数学家，带出来两个重要人物，一个是哥德尔不完备猜想的[哥德尔](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%93%E5%B0%94%E7%89%B9%C2%B7%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B0%94) （Gödel），另外一个是统计学家沃尔德（wald）[^6]（计量 wald 检验）。[熊彼特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%C2%B7%E7%86%8A%E5%BD%BC%E7%89%B9)（Joseph Alois Schumpeter）虽然是奥派出生，但其理论影响几乎独领风骚。 ![2018年全国2卷的作文题目，主角正是 wald 。遗憾的是，wald 最后死于飞机事故。](/img/经济学与数学-20250102155048117.webp) 宏观中最著名的数理方法是控制论[^8]，是维也纳一群无拘无束的科学家一起讨论形成的方法，其中就有冯诺依曼。最早将控制论认真引入经济学的是[艾伦](https://en.wikipedia.org/wiki/Alan_Blinder)（Alan Stuart Blinder）。早期引入控制论，大家更了解的可能是[菲利普斯]( https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E8%8F%B2%E5%88%A9%E6%99%AE%E6%96%AF_ (%E7%BB%8F%E6%B5%8E%E5%AD%A6%E5%AE%B6)）（Phillips） [^7]。 > 史树中老师将宏观模型粗暴地理解为控制论，是本书招致批评的主要原因之一。 ## 可用数学研究的经济学和经济研究中的数学 国内马政经曾经为研究对象是什么产生过激烈争辩，史树中老师的话很发人深省——**研究对象的选择意义是由研究成果决定的**，而不是和他人争辩过来的，自己想研究什么对象就研究什么对象，最后能接受检验即可。选择研究对象这件事不应该被约束，更不要被 xx 主义，xx 流派，xx 需要，xx 实践这种说法过度约束。 经济学中经常使用数学的部分是实证经济学。但要区分数学运用的目标，因为很多人寄托经济学通过数学达成和物理学一样的力量——预测对象的运行。以生理学为例子，生理已经能解剖心脏了，却没人会要求它预测心脏的跳动。 经济学的作用应当是配合实证分析的部分，形成清晰的公理表述。 ## 有趣的数理经济学思维 >这里我就只概括点我觉得值得提炼的信息了。 对偶问题。利润最大化和成本最小化是一个对偶问题。不断迭代和微积分可能得到一些更重要的变形。 基数效应论很难推广，序数效应论更容易，同时能证明基数效应论有对应的合适的序数效应。 囚徒困境启发：局部最优不等于整体最优，关键是不要过于分散，不然容易内斗。 《[阿罗不可能定理](https://blog.huaxiangshan.com/zh-cn/posts/shxz/)》是一个网红定理，很多人喜欢挂个标题——数学证明民主不可能实现。布坎南基于此发展了公共选择理论，抨击集体决策的有效性。不过理论贡献者阿罗自己倒是非常谨慎： > 社会选择矛盾的哲学和分配的含义还不清楚，肯定没有简单的方式可以解决。——阿罗 埃奇沃思盒：**交换过程不一定是平等的，这是一种机会均等**，在每一个帕累托最优点上，双方的分配很容易不平均，但达成怎样的结果的机会是均等的。这体现了过程正义比结果正义可能更重要。 不确定性环境可以帮助我们确定基数效用论。 史树中老师是从工程控制的角度探讨宏观部分。 博主 {{< person "https://www.sungyinieh.com/" 松易涅 "博友" >}} 向我推荐过《控制论与科学方法论》。其实国外一些宏观方向的高校也会要求学生学习控制论、动力系统。瓦尔拉斯、帕累托也接受过这方面的训练。 宏观系统需要考虑输入、输出、传递、反馈、目标实现、最优路径。常微分方程组和控制论结合比较紧密。将社会看作一个系统，那么市场就是一个调节器。 例如下面这种微分方程组, 其实就体现了工资产量-产出比和就业率的关系。 $$ \begin{cases} \dot{\varepsilon}=-{\varepsilon }h\left\( \theta \right\)\\\\ \dot{\theta}=-{\theta }g\left\( \varepsilon \right\) \end{cases} $$ 在数学上，它其实是非线性的伏尔特拉方程组。最开始是描述的湖底生态系统，大鱼吃小鱼，但小鱼被吃干净了大鱼也会变得生存艰难，最终达到一种均衡。（因此新剑桥学派认为这个式子就像阶级斗争） ## 总结 关于现在的经济学与数学的关系。 我感觉争议在于所谓经济学的直觉是什么？例如国外的这道考试题，先让你自己算，算出来后再自己看，算完后再用直觉去思考。此时数学和经济学推理是相辅相成的。 ![题目出处为https://drive.google.com/file/d/1PycYJ6QKeRSYQl9jVeNexlqtKBFlwxpl/view](/img/经济学与数学-20250111203831787.webp) 经济学直觉是什么？ 真的有所谓反直觉的研究吗？ > 我目前感觉是——直觉是对要素变化趋势的把握。大致上能知道一个要素在市场体系中的影响方向和权重地位。 > > 我也赞同《富种起源》中的一句话，科学最美妙的地方在于看前觉得不可思议，分析完后却觉得不得不如此。 许多人会引用马克思的一句话——一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。 其实这句话是在拉法格的回忆录中出现的，是拉法格说马克思说过这句话。马克思并未在自己的著作中表达过相关的观点。不过马克思的数学至少是学到了泰勒展开的。有趣的是，马克思虽然学了一部分微积分，但他没有意识到自己的极差地租有边际分析的思想。马克思也认为数学的神秘化倾向是推动其发展的原因之一。这些可以在《马克思的数学手稿》中找到证据。 经济学成功的数学其实是现象本质的一种抽象。通过科学的抽象揭示事物的内在机理。能做到离开定量的定性吗？虽然亚当斯密直接定性了，但是数学化后，大家对亚当斯密的定性才了解地更为清晰，从模糊的文字到严谨的数学描述其实是一条漫长的路，时间以世纪为单位。 [^1]: 戈森的两个定律：边际递减和均衡时边际效用相等。 [^2]: 凯恩斯 1921 年还写过一本《概率论》。不过凯恩斯对自己的模型被数学化这件事并不是很乐观。 [^3]: 微观经济学经典的古诺模型，讨论了双寡头的一种博弈。例如可口可乐和百事可乐为何能竞争到现在。 [^4]: 《经济学原理》作者 [^5]: 金融与货币学需要知道的——费雪方程。其中包含着二分法的思想，名义和实际。 [^6]: 他比较出名的故事书美军幸存者偏差，这个还是 2017 年高考二卷的选择题。 [^7]: 菲利普斯曲线，通货膨胀和失业二选一。 [^8]: 本书将宏观机械地看作控制论，个人认为是不合适的。