原神概率论：材料合成天赋选 10%双倍还是 25%返还？
网上计算数学期望的已经有很多，但是似乎没人计算方差，这里把方差计算补上。
一、设定介绍
在原神中，三个低级材料能够合成一个高级材料。我们表示为 $a \xrightarrow{\text{转化}}\dfrac{b}{3}$
为保持单位一致，我们统一使用 b 表示投入与产出，假设两边同时有初始材料 a，也就等价于 $\dfrac{b}{3}$。
此时有两种天赋，如下图
- 一种是有 10%的概率双倍产出。
每使用 a 个材料，也就是 $\dfrac{b}{3}$ 材料时，10%概率直接产出 $\dfrac{2}{3}b$ 材料。
- 一种是有 25%的概率返还部分低级材料。
每使用 a 个材料，也就是 $\dfrac{b}{3}$ 材料时，25%概率返回 $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{3}b$ 材料。
二、计算期望与方差
网上计算数学期望的已经有很多，但是似乎没有人计算方差，这里顺便把方差的计算补上。
（一）10%双倍产出的期望与方差
1、期望
此时就是二项分布离散分布列 。10% 概率双倍产出，90% 概率普通产出。
如下表 1：
$$ E_{\text{双倍}}(\dfrac{b}{3})=0.1\times \dfrac{2b}{3} + 0.9 \times \dfrac{b}{3} = \dfrac{11b}{30} $$ 所以投入 a 材料，等价于投入 $\dfrac{b}{3}$ 材料，10%双倍天赋的数学期望 $E_{\text{双倍}}(\dfrac{b}{3})=\dfrac{11 b}{30} $ 。
2、方差 $$ Var_{\text{双倍}}(\dfrac{b}{3})=E(X^2)-(E(X))^2 =(\dfrac{2b}{3})^2\times 0.1+ (\dfrac{b}{3})^2\times 0.9 -(\dfrac{11b}{30})^2=\dfrac{1}{100}b^2 $$ 所以投入 a 材料，等价于投入 $\dfrac{b}{3}$ 材料，10%双倍天赋的方差 $ Var_{\text{双倍}}(\dfrac{b}{3})=\dfrac{1}{100}b^2 $。
（二）25%返回材料的期望与方差
1、期望的两种算法
方法一：等比数列
$$
\begin{align*}
E_{\text{返回}}\left(\frac{b}{3}\right)
&= \frac{b}{3} + \frac{b}{3} \times 25\% \times \frac{1}{3} + \ldots + \frac{b}{3} \times \left(\frac{1}{12}\right)^n \newline
&= \frac{b}{3} \times (1+{\frac{1}{12}}+{\frac{1}{12}}^2+…+{\frac{1}{12}}^n) \newline
&= \frac{b}{3} \times \frac{1 \times (1-{\frac{1}{12}}^n)}{1-\frac{1}{12}} \newline
\end{align*}
$$
$$ \lim_{n\rightarrow + \infty}E_{\text{返回}}\left(\frac{b}{3}\right)=\frac{b}{3} \times \frac{1 \times (1-{\frac{1}{12}}^n)}{1-\frac{1}{12}}=\frac{4b}{11} $$
方法二：递归
由于返还后的材料继续炼丹，会形成一个递归，因此我们得到： $$ E_{\text{返回}}\left(\frac{b}{3}\right)=\frac{b}{3} +E_{\text{返回}}\left(\frac{b}{3}\right)\times 25% \times \frac{1}{3} $$ 答案与上面相同：
所以投入 a 材料，等价于投入 $\dfrac{b}{3}$ 材料，25%返回天赋的数学期望 $E_{\text{返回}}(\frac{b}{3} )=\frac{4b}{11}$。
2、方差
错误方法：
如果这样处理:
$$ \lim_{n\rightarrow + \infty}E_{\text{返回}}(\dfrac{1}{9}b^2)=({\frac{1}{3}}b)^2 \times \frac{1 \times (1-{\frac{1}{12}}^n)}{1-\frac{1}{12}}=\frac{4b}{11}\times \frac{b}{3} =\frac{4}{33}b^2 $$ 会得到一个错误的负数 (方差 $Var(x)=E(x-E(x))^2$ 不可能为负）： $$ Var_{\text{返回}}({\frac{b}{3}})=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{4}{33}b^2-(\frac{4b}{11})^2=-\frac{4}{363}b^2 $$ 这种做法的前提是： $$ \lim_{n\rightarrow + \infty}E_{\text{返回}}(\dfrac{1}{9}b^2)=\lim_{n\rightarrow + \infty}E_{\text{返回}}(\dfrac{1}{3}b)\times \dfrac{1}{3}b $$ 但实际上 b 是未知数，不是常数，所以不能这样粗暴地乘进括号内。
正确方法：
正确做法如图 4, 通过树状图分析。
由于所有可能性不断分裂成“剩下的 25%还有机会继续维持好运继续触发天赋吗？”不断分裂，最后会趋近于 0，所以我们只用加总红色部分即可。
我们可以验证下这种分类是否讨论完了所有情况，将所有概率加总：
$$ \lim_{n\rightarrow +\infty}75\%+…+{(25\%)}^{n-1}75\%=1 $$ 所有对应概率加总为 1，一定程度上验证了这种分类的正确性。
此时数学期望如下：
$$ E_{\text{返回}}(\frac{1}{9}b^2) =\sum_{i=1}^{i=n}{(25\%)}^{i-1}75 \%\times {\frac{b}{3}[1+…(\frac{1}{3})^{i-1}]}^2 $$ 等比数列求和，取极限（这部分计算比较麻烦……）
$$ \begin{align} &=\lim_{n\rightarrow +\infty}E_{\text{返回}}\left(\frac{b^2}{9}\right) \newline &= \sum_{i=1}^{n-1}\frac{3}{4^{i}} \times \frac{1}{9}b^2\left(\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^i}{1-\frac{1}{3}}\right)^2\newline &= \frac{3}{16}b^2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{4^{i-1}}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^i\right]^2\newline & = \frac{3}{16}b^2\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{4^{i-1}}(1-\frac{2}{3^i}+\frac{1}{9^i})\newline &=\frac{3}{16}b^2(\dfrac{4}{3}-\dfrac{8}{11}+\dfrac{4}{35})\newline &=\dfrac{52}{385}b^2 \end{align} $$ 对应方差如下：
$$ Var_{\text{返回}}({\frac{b}{3}})=E(X^2)-(E(X))^2=\dfrac{52}{385}b^2-(\frac{4b}{11})^2=\dfrac{236}{2541}b^2 $$ 所以投入 a 材料，等价于投入 $\dfrac{b}{3}$ 材料，10%双倍天赋的方差返回$ Var_{\text{返回}}(\dfrac{b}{3})=\dfrac{236}{2541}b^2$。
三、初步结论
更多讨论详见：原神概率论