# 马尔萨斯两部门模型 > 课堂展示使用，《富种起源》部分数理推导细节。 ## 问题的悬赏 《富种起源》作者的博士论文，希望高中生也能阅读，这里只介绍简化版的古典模型。 这本书是为了反驳主流马尔萨斯机制而写的书。宏观的经济史、经济增长的魅力在于——通过简洁的模型塑造一种 **史观** 。 [吴乐旻的《富种起源》论证说马尔萨斯对马尔萨斯陷阱的解释是错误的，那么马尔萨斯陷阱真正的原因是什么？](https://www.zhihu.com/question/585741754/answer/2916018611) 反驳的悬赏如下： ![如图，合理的质疑、反驳、改进有奖金拿](/img/课堂展示.zh-cn-20250325170526413.webp) ## 马尔萨斯叙事 ### 马尔萨斯是人资环学科的鼻祖。 {{< admonition type=note title="马尔萨斯陷阱" open=false >}} - 社会富有了，人就会增加生育； - 社会贫穷了，人就会减少生育。 - 最终人均收入就会稳定在一个水平上。 - 同理，生产增长的速度无法追赶人口增长的速度就会带来灾难。 {{< /admonition >}} ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325171253054.webp) ### 一种经济增长叙事 > 在漫长的经济增长史中，似乎只发生了一件事——工业革命。 > ——格里高利·克拉格（[Gregory Clark](https://en.wikipedia.org/wiki/Gregory_Clark_ "economist")） ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325170839797.webp) ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325170858781.webp) ![如图，来源wiki百科，大分流、李约瑟之谜、韦伯之问。](/img/课堂展示.zh-cn-20250325170915846.webp) - 明朝的人均实际收入和宋朝的实际收入难道一样? - 繁荣如果完美，为何不能持续？ - 为何历史总在民主和不民主间摇摆。 - 为何工业革命能破坏马尔萨斯陷阱？ - 能不能用一个大一统模型描述整个经济增长史？ ## 两部门模型 先分析部门进步和社会福利。 ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325171253054.webp) {{< admonition type=question title="为什么作者把人口平衡线定义为这个形状" open=false >}} 只考虑生存。 人生存必须需要农产品，但不一定需要工业品。 {{< /admonition >}} {{< admonition type=question title="如果人口平衡线是一条垂线呢？" open=false >}} 也就是单部门马尔萨斯的情况，因此不同部门的特性是这个模型推广的核心思路。 {{< /admonition >}} 两个部门同时进步的情况： ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325171552097.webp) 只有工业部门进步的情况： **只扩张工业部门，等比例萎缩。** ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325171801620.webp) **只扩张工业部门，等比例萎缩。** ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325172113833.webp) **改变偏好** 类比月亮和六便士，接下来把工业、农业转化成效用、生存两个部门。 - 效用部门：艺术、文学、玫瑰...... - 生存部门：国防、工科、大米...... ![如图](/img/课堂展示.zh-cn-20250325172317267.webp) 人们更偏好效用品，生育率暂时偏离（减少侧），提升社会福利。 {{< admonition type=note title="个人感想" open=false >}} 我个人很欣赏这个两部门的改进。其结论也符合历史趋势，随着历史发展，艺术、美、精神的追求都可以看作效用品，实际上人类文明对生存以外的效用品重视程度一直在增加。 与此同时，**对效用品的追求可能与文明的繁衍自相矛盾**。例如追求梦想而放弃婚姻，为了天上的月亮而放弃生存的五便士，为了容貌而亏待自己的身体。 《富种起源》对繁衍的 **假设** 和《自私的基因》一样：基因会促使我们关心基因的延续，但我们并不会特意去计算繁衍的概率。 {{< /admonition >}} 社会福利增加影响因素； - 效用品和生存品部门进步率。 - 偏好结构。 - 人均消费（人口平衡线） ## 模型代数证明（简单情况） $$ \max U(x,y)=x^{1-\beta}y^\beta $$ $$ \begin{cases} \text{生存部门:}X=AL_A^{1-\gamma_A}H_A^{\gamma_A} \\\\ \text{效用部门:}Y=BL_B^{1-\gamma_B}H_B^{\gamma_B} \end{cases} $$ ### 假设 1：$\gamma_A=\gamma_B\equiv\gamma<1$（如果放松） {{< admonition type=note title="假设意义" open=false >}} 小于 1 是为了边际递减。 相等是人口萎缩对两个部门产生的冲击是相同（要素贡献率）。 {{< /admonition >}} $$ \max U(x,y)=x^{1-\beta}y^\beta $$ $$ \begin{cases} \text{生存部门:}&X=AL_1^{1-\gamma}H_1^\gamma\\\\ \text{效用部门:}&Y=BL_2^{1-\gamma}H_2^\gamma\\\\ \text{土地:}&L_1+L_2=L\\\\ \text{劳动:}&H_1+H_2=H& \end{cases} $$ 接下来求解：`逆向归纳`——`社会决策`—— `效用` —— `产品` —— `要素`。 需要决定的要素是为每个产品消耗多少要素。 $$L_2=L-L_1,\quad H_2=H-H_1$$ $$ U=(AL_1^{1-\gamma}H_1^{\gamma})^{1-\beta}[B(L-L_1)^{1-\gamma}(H-H_1)^{\gamma}]^{\beta} $$ 取对数后处理更简单一些： $$ V=(1-\beta)\left[\ln A+(1-\gamma)\ln L_1+\gamma\ln H_1\right]+\beta\left[\ln B+(1-\gamma)\ln\left(L-L_1\right)+\gamma\ln\left(H-H_1\right)\right] $$ 最优化即偏导为 0。 $$ \frac{\partial V}{\partial L_1}=\frac{(1-\gamma)(1-\beta)}{L_1}-\frac{(1-\gamma)\beta}{L-L_1}=0 $$ $$ L_1^\*=(1-\beta)L,\quad L_2^\*=\beta L $$ 同理， $$ \frac{\partial V}{\partial H_1}=\frac{\gamma(1-\beta)}{H_1}-\frac{\gamma\beta}{H-H_1}=0 $$ $$H_1^\*=(1-\beta)H,\quad H_2^\*=\beta H$$ 要素决策后，接下来代入产品决策 $X=AL_1^{1-\gamma}H_1^\gamma$。 $$ \begin{aligned}X^{\*}&=A\left(L_{1}^{\*}\right)^{1-\gamma}(H_{1}^{\*})^{\gamma}=A[(1-\beta)L]^{1-\gamma}[(1-\beta)H]^{\gamma}\\\\&=A\left(1-\beta\right)L^{1-\gamma}H^{\gamma}\end{aligned} $$ 人均水平再除以 H, $$ \begin{cases}x=A（1-\beta）\left（\frac{H}{L}\right）^{\gamma-1}\\\\y=B\beta\left（\frac{H}{L}\right）^{\gamma-1}&\end{cases} $$ 产品决策后，代入效用 $U=x^{1-\beta}y^{\beta}$， $$ \begin{aligned}\mathrm{U}&=A\left（\frac{H}{L}\right）^{\gamma-1}\left（\frac{B}{A}\right）^\beta（1-\beta）^{1-\beta}\beta^\beta\\\\&=x\left（\frac{B}{A}\right）^\beta\left（\frac{\beta}{1-\beta}\right）^\beta\end{aligned} $$ {{< admonition type=question title="为什么提取x" open=false >}} 为什么提取出来 x ? 马尔萨斯的假设是从人均粮食出发的，也就是人均生产品的均衡。 {{< /admonition >}} ### 假设 2： $g_H\equiv\frac{\dot{H}}{H}=n=\delta\left(\ln x-\ln\bar{x}\right)$ 马尔萨斯陷阱的描述。 微分方程——导数与数值的关系——增量和存量的关系——动态方程。 $\bar{x}$ 是使人口保持不变的平均生存品消费水平。 ### 结论一 均衡效用的表示： $$ U^E=\bar{x}\left（\frac{B}{A}\right）^\beta\left（\frac{\beta}{1-\beta}\right）^\beta $$ 均衡人均效用随着产出结构效用品化程度（$\frac{B}{A}$ ）、对效用品的相对偏好（ $\beta$）和维持人口平衡所需的人均生存品消费（$\bar{x}$ ）的增长而增长。 尚未证明的图示情况： 不同部门增长速度与社会福利的关系。 为保持模型简单，只考虑封闭的社会，不存在对外贸易。 生存产品的增长速度为 $g_A$ ；效用产品的增长速度为 $g_B$ 。 ### 引理 ：$g_A-(1-\gamma)g_H\to0$ 马尔萨斯人口增长的假设：$g_H\equiv\frac{\dot{H}}{H}=n=\delta\left(\ln x-\ln \bar{x}\right)$ > 含义：人口增长取决于人均生存消费品水平。 均衡人均消费的情况：$x=A(1-\beta)\left(\frac{H}{L}\right)^{\gamma-1}$ 土地资源简化为 1，得到 $x=A(1-\beta)^{\gamma}H^{\gamma-1}$，代入 $g_H$: $$ g_H=\delta\left[\ln A+\gamma\ln（1-\beta）+（\gamma-1）\ln H-\ln x\right] $$ 使用 M 指代 $\ln A+\gamma\ln(1-\beta)$，简化为： $$g_H=\delta\left[M+\gamma\ln(1-\beta)-\ln x\right]$$ 对 M 进行微分， $$ \mathrm{d}M=g_A+（\gamma-1）g_H=g_A+（\gamma-1）\delta\left[M+\gamma\ln（1-\beta）-\ln x\right] $$ 稳态时，$dM=0$, 代入求解， $$ M^*=\frac{g_A}{（1-\gamma）\delta}-\gamma\ln（1-\beta）+\ln\bar{x} $$ 而此时又有：$\mathrm{d}M=g_A+(\gamma-1)g_H=0$ > $M$ 趋于均衡的 $M^\*$ 的过程就是 $dM$ 靠近 0 的过程。 ### 定理三：人均效用增长率和两个部门的增长率 研究人均效用增长率（也可以看作人均收入），和两个部门增长的关系。 > 宏观的平衡增长路径，相图分析就是这种。 在偏离稳态的地方（$\bar{x} \neq x$）, 效用为: $$ U=A\left（\frac{H}{L}\right）^{\gamma-1}\left（\frac{B}{A}\right）^{\beta}（1-\beta）^{1-\beta}\beta^{\beta} $$ {{< admonition type=note title="取对数，求导就可转化为增长率。" open=false >}} 对于要素 X ，宏观要素 X 随事件变化（X(t)）。 对 ln (X) 的 t 求导。 $$ \begin{aligned}&\frac{d\ln X（t）}{dt}=\frac{d\ln X（t）}{dX（t）}\frac{dX（t）}{dt}\\\\&=\frac{\frac{dX（t）}{X（t）}}{dt}=\frac{\dot{X}（t）}{X（t）}=g（\text{增长速率}）\end{aligned} $$ {{< /admonition >}} 取对数求导线性化，即可得到： $$g_U=\beta\left(g_B-g_A\right)+g_A-(1-\gamma)g_H$$ 后面即为引理部分，已经证明了趋于 0。 于是得到了人均福利（收入）与生存品和效用品的关系。 $$ g_U=\beta\left（g_B-g_A\right） $$ 按照这个结论，人均收入长期停滞的原因应该只有一个， 效用品的增长速度总是无法高于生存品的增长速度。 更复杂的情况会引入人口迁移与贸易（通过设定人口迁移率来满足人口平衡线）、技术竞争（需要一些随机过程的数学），直觉上通过多层次博弈(《三体：黑暗森林》)理解即可，这里不再展开具体的数理模型。 **后半部分简单解读**参见： [竞择理论](https://blog.huaxiangshan.com/zh-cn/posts/fzqy/#%E7%AB%9E%E6%8B%A9)