# 制度、政治、民主与阿罗不可能定理


> **制度是经济增长的根本原因——诺斯**

> 我一直想找机会记录下我在财政课上第一次接触到“新政治经济学”的震撼。现在决定梳理一番是基于以下原因：
> - 学了测度论后，有了一点点泛函基础（其实不需要）
> - 组会上老师聊到了一点国内政策执行现状，提到政治经济学确实是一个很重要的视角。我也十分赞同。制度激励是一个相当有趣的研究领域。
> - 2024 年诺奖理由是制度经济学、政治经济学的贡献
> - 美国大选的精彩反转
> - B 站刷到了相关视频
> - 马上要忙起来了，现在不写就没时间了


## 从制度到政治经济学

**两个问题：**
1. 国家的起源是什么（财政的本质是什么？）
2. 什么决定了国家的发展路径？

我经常在博客里用这个问题举例[^3]——政府起源是什么？一种流派是古典政治经济学，以社会契约论、公共物品论[^2]、社会福利理论为代表。权力集体的设置源于集体最优化的需求。

> 当然，如何衡量社会福利本身也是一个哲学问题，最小值（无知之幕思想实验[^1]）？最大值？均值？绝对值？边际值？设计加权的凸函数？
> 
> 在此之上，正义的价值观也是哲学问题，例如阿马蒂亚森（Amartya Sen）的选择自由；计划经济的结果平均；初始分配的禀赋平均......
> 
> 税收设置就像电车难题，一条路上是穷人，一条路上是中产阶级，一条路上是富人——甚至驾驶员得考虑一些人会在被撞前变身超级赛亚人掀桌子。

在引入另一个流派前，我们先看看下一个问题——什么决定了国家的发展。

一大流派是国际贸易视角下的资源禀赋理论。一号国家既有 4  个 a 资源，又有 2 个 b 资源，但 a  产业赚钱更多，自然就会选择 a 产业。二号国家只有 0.5 个 a 资源，又有 1 个 b 资源，因此 b 产业赚钱更多，于是发展 b 产业。

|      | A 资源数量 | B 资源数数量 | 更赚钱的产业选择 |
| ---- | ------ | ------- | -------- |
| 一号国家 | 4      | 2       | A        |
| 二号国家 | 0.5    | 1       | B        |

因此，即便一号国家什么资源都比二号国家强，但由于它内部集中发展 A 产业最赚钱，于是他选择 A 产业；同样，二号国家选择 B 产业。这个模型（H-O 比较优势）能形象地解释**为什么绝对优势更低的弱国依旧能向强国出口商品**。林毅夫教授就是在这一思想上提出来“新结构经济学”。

{{< admonition type=note  title="国际贸易的起源" open=false >}}
第一阶段看法：绝对优势

第二阶段看法：比较优势

第三阶段看法：规模效应

第四阶段看法：异质性企业

{{< /admonition >}}

也就是说，这一流派，假定国家发展是区域资源决定的。

> 以下关于制度经济学的区分，参考了《制度与经济增长》（姚洋），这本书是关于姚洋教授和制度经济学大师诺斯的交流对话。（尚未看完，看完再来补充）

制度经济学并不这么认为。比如诺斯认为，所谓投资、教育、资本积累等不是经济增长的原因，而是增长的表现。如果只是堆生产要素就能实现发展，理论上讲所有国家都能模仿，但现实并非如此，实际上有效率的组织才是实现发展的主要动因。

同时，禀赋资源说总考虑人们会理性地使得自己资源优势最大化，那么举一个简单的反驳例子——逆全球化趋势也在全球局部出现。


> **例子 1**. 科斯使用交易成本解释企业的起源——从制度层面解释了企业的产生。这说明制度的产生有所共性，而不是资源禀赋产生了特别的秩序。
> 
> **例子 2**. 我更想用人类学的一种观点解释制度经济学——我们的文化行为可以被看作一种过度仪式[^4]。例如腊肉，过去腊肉作为过年的食物是因为便于保存，受到资源限制而产生的行为，但如今资源丰富了，腊肉的意义成为了新年美食的化身。
> 
> **例子 3**. 局部逆全球化趋势。特朗普希望制造业回流，我国强调国家安全，基于极限情况考虑战略部署，希望产业链全面发展。
> 
> **例子 4.** 路径依赖。例如铁路的宽度、录像机的 VHS 制式都是因为当时技术局限，在当代来看都不是最优选择，但被保留了下来。这种制度惯性也就是诺斯口中的“**历史是有意义的**”。
> 
> **例子 5.** 正式会议要穿西服；结婚需要彩礼；探病最好不要空手...... 这些非正式规则（这一概念由诺斯提出）无时无刻约束着大家。这些制度实际上具有相当大的执行弹性，我们不能单纯从资源利用最大化的角度理解非正式规则。

也就是说，制度演化混杂了太多非理性因素与非物质因素，尤其是文化宗教这类。如何认识这种制度中非最优、非完全理性的制度演化，制度经济学又分为了基于积极运用新古典经济新制度经济学学派（如 Dron）和抛弃新古典经济学的旧制度经济学派（例如萨缪尔森（Samuelson））。（这只是诺斯的一种分法）

> 一些区分标准：制度的定义；理性与非理性假设边界；制度演化是否自发，相对经济外生还是内生；制度变迁的动力；人在制度变迁的地位；用经济解释制度还是用制度解释经济......

换句话讲，比起将集体作为一个单位，制度经济学注重“人——集体——制度——发展”的互动和动态演化。

> 新旧制度经济学的区别其实很模糊，制度经济学、发展经济学在历史上成为了一个什么都能装的大概念。
> 
> 随便一提，杨小凯[^8]也受到布坎南（Buchanan）社会选择理论的影响，其超边际分析也注重个人基本单位下的一般均衡传导路径。
> 
> 此处可参考《[发展经济学：边际分析与超边际分析 (导论)](https://blog.huaxiangshan.com/zh-cn/posts/yxk1/)》

古典政治经济学把财政当成一个自发为集体谋福利的机构，但是从制度经济学来看，现实并非如此。财政其实可以被看作一种集体决策。集体政策就是一种制度设计。

> 财政学至今依旧在争议财政是什么，这一点难道不奇妙吗？

**请思考思考，集体决策这个过程像不像一个学科——政治。**

**新制度经济学发展到后期，就变成了新政治经济学。**

**新政治经济学研究点之一——个体偏好到集体决策的偏差。**

我被震惊的是这种从本质到手段的数学描述方式：

- 什么是公平？我们说不清楚，于是我们先研究推动公平的工具——财政。
- 什么是民主？我们说不清楚，于是我们先研究实践民主的工具——集体决策。

于是社会选择理论诞生了，例如委托代理[^6]、官员晋升锦标赛[^7]、包容性增长。今天我想介绍的就是社会选择理论中的投票相关的分析。一切集体决策都可以看作一种投票。

将研究范围定位到“做选择”这一思想也是经济学帝国主义的原因之一。

> 国际上还有许多大佬做拍卖设计的。这种微观理论的选题，几乎就是博弈论和数理分析了。

## 社会选择理论

本节参考自《高级微观经济学（第二版）》（蒋春殿）第 18 章。我基本上就是选择性复制粘贴而已。

关于更通俗的阿罗不可能解释，可以参以下视频：

{{< bilibili BV1igxxepEpF>}}

### 社会福利泛函


我们曾在概率论中使用集合表示事件结果范围，而泛函之所以为“泛”，就是因为它研究的函数是**集合空间到集合空间的映射**，我们变为研究一类映射函数，也可以说，“泛”在研究对象是函数之函数；非线性泛函则是一种路径最优化，可以参考另外一篇博客《[变分法学习笔记](https://blog.huaxiangshan.com/zh-cn/posts/bff/)》。

高级微观的一些推理依赖集合作为决策要素的空间进行表达：

记**社会个体集合**为 $I=\\{ 1,2,\ldots,n \\}, n\geqslant2$。

$x,y \in X$  作为**资源集合**，被分配到个体集合 $a_i$ 中，也就是 $\sum_i^n a_i=X_i$。

偏好有如下表。

- $x\succeq_{i}y$ ：个体 $i$ 认为 $x$ 不次于 $y$ 。
- $x\sim_{i}y$ ：个体 $i$ 认为 $x$ 和 $y$ 无差异。
- $x\succ_{i}y$ ：个体 $i$ 认为 $x$ 优于 $y$ 。

之前提过了，泛函就是**空间到空间的映射**。而社会福利泛函就是个体联合偏好**空间**到社会偏好**空间**的映射，记为

$$
\succeq^{F}=F(\succeq_{1},\succeq_{2},\ldots,\succeq_{n})
$$
> 注意，这里是所有个体的偏好空间到社会偏好的映射，并不一定是数轴空间（$R^1$）。个体联合偏好空间可以理解为所有人偏好的结果的集合，社会偏好空间可以理解为最后我们应该承认的总体偏好结果空间。

接下来举例说明：


对于独裁者社会来说，就是社会偏好被迫服从一个个体的偏好。

$$
x\succ_{h}y\quad\Rightarrow\quad x\succ y
$$

多数票制就是少数服从多数的映射，按照同类个体偏好的加总进行比较。

$$
N(x\succ_{i}y)>N(y\succ_{i}x)\Rightarrow\quad x\succ y $$

$$
N（x\succ_{i}y）=N（y\succ_{i}x）\Rightarrow\quad x\sim y
$$

> **梅伊定理（May）**: 社会福利泛函是多数票的充分必要性是以下三个性质：
> 
> - 多数票的**匿名性**是同一偏好内部的序列标识 $i$ 可以互换；
> - **中立性**表现为每个人票的权重是一样的；
> - **正响应性**表现为社会偏好改变方向和某些个体的偏好方向变化相同。

多数投票的想象很美好，但现实的投票会遇见各种问题，详细可查看“[投票悖论](https://en.wikipedia.org/wiki/Condorcet_paradox)”(又叫**孔多塞悖论**）。

由于偏好是基于序数效应论，是比较出来的。有可能出现下面这种无限循环的比较情况。现实投票更加复杂，例如美国大选摇摆州是关键，见风使舵、打击报复的心态也会影响投票结果。

![来源维基百科](/img/社会选择理论.zh-cn-20241117191819611.webp)

因此，我们需要设置社会福利泛函的公理条件：

- **无限制性**：每个个体偏好都能得到社会偏好（社会偏好至少满足传递性和完备性）
- **非独裁性**：补充：匿名性原则的限制比非独裁性的约束还要强。
- **帕累托原则**：$\forall i\in A, x\succ_{i}y \rightarrow x\succ y$
- **独立性**：$\forall x, y\in X$ 当 $x\succ y$ 成立时，任何 $i\in I$ 在 $\\{x, y\\}$ 补集上的偏好不影响此时的社会偏好结果 $x\succ y$ 。独立性其实为了使得模型更加简洁，让投票者考虑的信息局限在当前选择之类，这一约束比中立性约束更弱。

此时我们可以提一种投票方案——**博达计数方案**。

核心就是排序，每个人按照从 1 到 n 的顺序对每一个选项排序 $c_i(x)$，越好越靠前，

最后将每个选项的顺序加总。
$$
c（x）=\sum_{i=1}^{n}c_{i}（x）
$$
总数越小，社会偏好越靠前。

$$
c（x）<c（y）\quad\Leftrightarrow\quad x\succ y
$$

看起来很靠谱？但是**博达计数方案**违背了独立性：

> 为了讨论独立性，我们引入第三个选择 $z$

假设有两个个体，有如此偏好：

$$x\succ_1z\succ_1y,\quad y\succ_2x\succ_2z$$
两两排序比较进行计数：

$$
c_{1}（x）=1, c_{2}（x）=2\quad\Rightarrow\quad c（x）=c_{1}（x）+c_{2}（x）=3$$

$$c_{1}（y）=3, c_{2}（y）=1\quad\Rightarrow\quad c（y）=c_{1}（y）+c_{2}（y）=4
$$

于是得到社会偏好 $x\succ y$。

但是假设我们改变 $z$ 在其中的顺序：

$$
x\succ_{1}y\succ_{1}z,\quad y\succ_{2}z\succ_{2}x
$$
得到如下计数：

$$
c_1（x）=1, c_2（x）=3\quad\Rightarrow\quad c（x）=c_1（x）+c_2（x）=4
$$
$$
c_1（y）=2, c_2（y）=1\quad\Rightarrow\quad c（y）=c_1（y）+c_2（y）=3
$$

社会偏好 $y\succ x$ 竟然发生了逆转！

> 从直觉上，个人感觉可以如下理解。博达计数方案不满足独立性的原因是它是基于排序记分，这种排序分数的一部分解释实际衡量的是 x、y 相对于 z 的偏好分数。

## 阿罗不可能定理

### 决定性集团

我们对于集体决策有很多期望，于是我们会思考，有没有投票方式能满足我们所有诉求？阿罗不可能定理证明的是——选项大于等于 3 时，这种期望不可能。

决定性偏好是指，特定情况下，部分群体拥有话语权会左右社会偏好。

集团 $K \in I$

$$
\forall i\in K, x\succ_iy;\quad\forall j\in I\cap K^c, y\succ_jx\quad\Rightarrow x\succ y
$$
也就是 $I$ 中分为 $K$ 和 $I\cap K^c$ 两种偏好立场，即便他们观点相反，但可能最后社会偏好反应的其实是 $K$ 的偏好。

> - 美国大选摇摆州。
> - 刚好平票的时刻，最后一票量将成为质变的岔路口。
> - 明星表态和跟随明星的粉丝。

当集团 $K$ 的偏好直接决定了选项 $(x,y) \subset X$ 的社会偏好，则 $K$ 是社会福利泛函下的一个决定性集团，记作 $D_K(x,y)$。

> 再次补充：此处泛函是空间到空间的映射，由于 $K$ 决定了社会偏好，此时该集团的偏好就是个体联合偏好空间到社会偏好的映射。自然，当 $K$ 只有一个人时，就是独裁。

同时满足**无限制性、帕累托原则、独立性时**，决定性集团有以下性质：
1. $(x,y) \subset X$ ，有决定性集团 $D_K(x,y)$，则当 $(u,v) \subset X$ ，也有 $D_K(u,v)$
2. $K\subseteq I,J\subseteq I$ (符号含义是包含于或等于)都为决定性集团，则 $K\cap J$ 也是决定性集团。
3. 任取 $K\subset I$，$K$ 和 $I\cap K^c$ 中必有一个决定性集团[^9]。
4. $K\subset I$ 是决定性的，$J\subset I$ 是任何包含了 $K$ 的集团，$J\subset K$ ，则 $J$ 也是决定性的。
5. $K\subseteq I$ 是决定性的，且成员数量大于 1，存在真子集 $J\subset K$ 为决定性的。

关于这些性质的证明此处不再记录。

### 阿罗不可能定理

> 这是阿罗的博士论文......

定义：选择数量不低于 3（比如美国大选其实是两党制，用不上），不存在同时满足无限制性、非独裁性、帕累托原则、独立性的社会福利泛函。

关于其证明其实就是运用下面的性质：

1. $(x,y) \subset X$ ，有决定性集团 $D_K(x,y)$，则当 $(u,v) \subset X$ ，也有 $D_K(u,v)$
2. $K\subseteq I,J\subseteq I$ (符号含义是包含于或等于) 都为决定性集团，则 $K\cap J$ 也是决定性集团。
3. 任取 $K\subset I$，$K$ 和 $I\cap K^c$ 中必有一个决定性集团[^9]。
4. $K\subset I$ 是决定性的，$J\subset I$ 是任何包含了 $K$ 的集团，$J\subset K$ ，则 $J$ 也是决定性的。
5. $K\subseteq I$ 是决定性的，且成员数量大于 1，存在真子集 $J\subset K$ 为决定性的。

例如，证明满足无限制性、帕累托原则、独立性的社会福利泛函一定是独裁的：

社会整体 $I$ 可以被看作一个决定性集团，基于性质 5 可以无限套娃分解为一个。接下来有利用性质 2 对选择进行偏好分类，验证这个个体确实相对于其他选项属于独裁。

推荐参考：
- [当民主遇上逻辑——阿罗不可能定理 - 遥远地方剑星的文章 - 知乎](https://zhuanlan.zhihu.com/p/111921999)
- [阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem） 」为什么反直觉？](https://www.zhihu.com/question/29529633/answer/46906741)
- [已知阿罗的不可能定理的前提下，微观经济学为什么还要研究社会福利函数？](https://www.zhihu.com/question/25566451)

> 个人理解：
> 
> 可以把阿罗不可能定理的这个独裁证明看作“量变到质变”的最后一票。
> 但理解需要更深一些：
> 
> 记住：阿罗不可能定定理研究的是**个体偏好空间到社会偏好空间的映射**。
> 
> 因为阿罗要解决的是个体偏好空间到社会偏好空间的最好映射，最理想的民主就是不存在那“质变一票”。
> 
>人人绝对平等，通过排序参与而不是基数效应加总。当然，早就有定理证明了序数与基数偏好的转化存在性。
>
>假设人人都在未知的情况下一次性投票，总会有一个人的偏好决定了（即便他不知道自己属于这场游戏的独裁者）全社会的偏好，于是投票是独裁的。也就是说，此时映射并不是理想的，也不能真正反应大部分人的偏好。
>
>假设多阶段博弈，人们可能基于打击报复的心态改变自己的投票，自己的偏好改来改去，此时违背了独立性假设，都为了胜利更改初心了，也就更没有真正反映出最好的映射了。
>
>归根结底，阿罗不可能定理想要证明的是这种观点——个人偏好映射为社会偏好困难重重。

### 放宽假设

一种证明是参与者为正无穷时，阿罗不可能定理有解，但似乎并不像计量一样能搞渐进性。

放宽无限制假设，限制只有单峰偏好，没有多峰偏好。

- **单峰偏好**：如果选民偏离其最满意的结果，不论偏离的方向如何，其效用是下降的。
- **双峰偏好**：如果选民偏离其最满意的结果，其效用先降后升。

> 其实就是把投票悖论（孔赛多悖论）的情况排除掉。
> 单峰偏好在连续封闭区间内需要是凸偏好。

![单峰偏好（来源：《高级微观经济学（第二版）》（蒋春殿）），多峰就是其中的三角形倒过来](/img/社会选择理论.zh-cn-20241117223055375.webp)
### 陶哲轩的证明

{{< admonition type=note  title="证明思路" open=false >}}
阿罗不可能定理有很多种证明思路。
- 中级微观的一般介绍的表格排序。
- 还有一种常见的是简化为二维坐标图研究偏好区块。
- 高级一般会选择泛函与集合论的证明，也就是本文的证明。
{{< /admonition >}}


陶哲轩也曾给出过自己的证明：

[陶哲轩的证明](https://www.math.ucla.edu/~tao/arrow.pdf)

解析可以参考：

[阿罗不可能定理的证明（via 陶哲轩)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/556980563)

高等概率论老师曾评价到——他为陶哲轩把部分精力放在非世界级难题上的做法感到惋惜😂。


[^1]: 假设我们不知道我们要投胎到哪个社会，我们往往假设自己总投胎到最坏的社会，这种情况下社会福利的最好标准是最小值。
[^2]: 广场、国防安全这类面向公众的，所有人都能享受（非排他性），且多一个人不影响质量的（非竞争性）的供给需要政府支持。
[^3]: 这种讨论第一性的问题，我觉得都非常有意思。
[^4]: 其他我知道的还有戏剧舞台论、自我映射论
[^5]: 我也还没看完，不敢随意划分界限。
[^6]: 交叉到博弈论、信息不对称。我们选举出的代表人和我们处于信息不对等的地位，我们不能使用权力契约描述这种情况，使用代理人更加客观。
[^7]: 官员是为了自己的晋升制定地方发展政策，因此注重基础设置这种有形的投入而非人力资本这种无形资本，同时大力举债，和对手相互较劲。提出者是北大的周黎安教授。
[^8]: 社会选择理论提出者，诺奖得主布坎南（Buchanan）很欣赏杨小凯，因此杨小凯才被誉为最接近诺贝尔经济奖的国人。
[^9]: 假设排除了平票、循环的情况，自然无论怎么分总有一方的集体偏好决定了社会偏好。