经济学的数学史

如果让经济学和数学再共生上一个半世纪，那谁能想象它将产生什么样的变化。——史树中

推荐理由

• 视角：史树中老师是纯数学背景出生。本书其实是面向数学专业的经济学数学科普。有趣的学科立场在于——你会发现数学家一般会尽力回避社会科学的规范分析，非数理的名词的解释。
• 阅读门槛：中级微观经济学难度，但是由于是面向数学学生群体，部分数学超过中级。例如中级微观一般是用拉表格的形式介绍阿罗不可能定理，而本书直接使用的泛函。
• 学科史：本书可以看作数学在经济学中的发展史，很多人虽然学完了微观却不一定能理顺其中数学工具的发展关系。例如很多人对古诺、瓦尔拉斯、阿罗的贡献，只是知道教材上的一两道例题而已。学科史能弥补中间的空白，了解大师们的传承过程。

正如我在 《经济学的自负：最近的一些想法 》中提到的那样——我认为学科史的学习非常重要。了解数学与经济结合的历史也很重要。

如果连中级的美感都没去感受，就沉浸在高级的数学技巧中，我觉得很难走得远。因为经济思想早在中级就渗透完了，高级是中级的精准表达和模型的一般化推广。

回顾经济学家的生平其实是很有意思的事。就像大家沉迷于锐评当代的经济学家，八卦学术新星的教职去向，在数理经济史中，你也可以看到如此多耳熟能详的名字，都曾在论文中默默无闻，直到被后继者挖出来，心血才得到回报。

• 意识形态：在那个年代，使用数理工具分析经济学被认为带有资本主义色彩。全书充满这种时代特色，作者必须强调我们是批判性地看待，并且插入苏联社会主义数理经济学的相关论述。这种时代气息让我感觉很新奇😂。

历史回顾

数学和经济学融合是一个曲折的过程，大量的天才因为数学太好，在世时没有被同时代的人所重视。

17 世纪。威廉配第（William Petty）《政治算术》。此时刚开始运用数字。

19 世纪。

函数的使用：古诺（Charles-François Gounod）¹ (巴黎师高的学生，拉普拉斯和泊松的学生)《财富理论的数学原理》。很多人不能接受书中价格需求函数的数学表达，因此古诺又写了一个回避数学的版本（但依旧不火）。其去世 80 年后贡献才被肯定。

边际分析的先驱：

戈森（Hermann Heinrich Gossen）²因为数学太好结果其分析在当世没有被接受。奥地利学派创始人门格尔（Carl Menger）由于不会微积分，自己用感觉描述边际分析，结果影响力很大。奥地利学派之后基本没有什么积极运用数学的经济学家了。

杰文斯（William Stanley Jevons）《政治经济学的一般数学原理的注记》（1862）、瓦尔拉斯（Léon Walras）（洛桑学派开创者）《交换的一种数学原理》。他们都会微积分，瓦尔拉斯数学比杰文斯更好。

门格尔、杰文斯、瓦尔拉斯都是各自独立思考起了边际分析，不过最后他们发现戈森是最早的，只是一直没被重视。

数理模式的扩张：瓦尔拉斯的一般均衡横空出世。证明存在价格使得市场供求平衡。不过瓦尔拉斯数学还不够好，他认为变量数等于方程数就有解，没有考虑方程组的秩。虽然证明不严谨，但思想的影响依旧深远。冯诺依曼也是基于一般均衡思考起了博弈论。

瓦尔拉斯提出一般均衡理论 80 年后，德布罗 (Gérard Debreu)《价值理论，经济均衡的一种公理化分析》（1959）才严格证明了一般均衡存在性。其和布劳威不动点是充要条件。

边际效用学派二代：埃奇沃思 《数学心理学》、马歇尔《经济学原理》（马歇尔 (Alfred Marshall)³也是数学出身，是剑桥学派代表）。凯恩斯 (John Maynard Keynes)⁴是马歇尔的学生。

洛桑学派二代：帕累托 (Vilfredo Federico Damaso Pareto)（做了 20 年铁路采矿工程师）

美国边际学派： 费雪⁵（Irving Fisher） 启发了凯恩斯。

奥地利学派后续：门格尔的儿子成为了数学家，带出来两个重要人物，一个是哥德尔不完备猜想的哥德尔 (Gödel)，另外一个是统计学家沃尔德（wald）⁶（计量 wald 检验）。熊彼特（Joseph Alois Schumpeter）虽然是奥派出生，但其理论影响几乎独领风骚。

宏观中最著名的数理方法是控制论，是维也纳一群无拘无束的科学家一起讨论形成的方法，其中就有冯诺依曼。最早将控制论认真引入经济学的是艾伦（Alan Stuart Blinder）。早期引入控制论，大家更了解的可能是菲利普斯（Phillips）⁷。

可用数学研究的经济学和经济研究中的数学

国内马政经曾经为研究对象是什么产生过激烈争辩，史树中老师的话很发人深省——研究对象的选择意义是由研究成果决定的，而不是和他人争辩过来的，自己想研究什么对象就研究什么对象，最好接受检验即可，但是选择研究对象这件事不应该被约束。不要被 xx 主义，xx 流派，xx 需要，xx 实践这种说法过度约束。

经济学中经常使用数学的部分是实证经济学。但要区分数学运用的目标，因为很多人寄托经济学通过数学达成和物理学一样的力量——预测对象的运行。但以生理学为例子，生理已经能解剖心脏了，却没人会要求它预测心脏的跳动。

经济学的作用应当是配合实证分析的部分，形成清晰的公理表述。

有趣的数理经济学思维

这里我就只概括点我觉得值得提炼的信息了。

对偶问题。利润最大化和成本最小化是一个对偶问题。不断迭代和微积分可能得到一些更重要的变形。

基数效应论很难推广，序数效应论更容易，同时能证明基数效应论有对应的合适的序数效应。

囚徒困境启发：局部最优不等于整体最优，关键是不要过于分散，不然容易内斗。

《阿罗不可能定理》是一个网红定理，很多人喜欢挂个标题——数学证明民主不可能实现。布坎南基于此发展了公共选择理论，抨击集体决策的有效性。不过理论贡献者阿罗自己倒是非常谨慎：

社会选择矛盾的哲学和分配的含义还不清楚，肯定没有简单的方式可以解决。——阿罗

埃奇沃思盒：交换过程不一定是平等的，这是一种机会均等，在每一个帕累托最优点上，双方的分配很容易不平均，但达成怎样的结果的机会是均等的。这体现了过程正义比结果正义可能更重要。

不确定性环境可以帮助我们确定基数效用论。

史树中老师是从工程控制的角度探讨宏观部分。

博主  松易涅 向我推荐过《控制论与科学方法论》。其实国外一些宏观方向的高校也会要求学生学习控制论、动力系统。瓦尔拉斯、帕累托也接受过这方面的训练。

宏观系统需要考虑输入、输出、传递、反馈、目标实现、最优路径（流程图）。常微分方程组和控制论结合比较紧密。将社会看作一个系统，那么市场就是一个调节器。

例如下面这种微分方程组, 其实就体现了工资产量-产出比和就业率的关系。

$$ \begin{cases} \dot{\varepsilon}=-{\varepsilon }h\left( \theta \right)\\ \dot{\theta}=-{\theta }g\left( \varepsilon \right) \end{cases} $$

在数学上，它其实是非线性的伏尔特拉方程组。最开始是描述的湖底生态系统，大鱼吃小鱼，但小鱼被吃干净了大鱼也会变得生存艰难，最终达到一种均衡。（因此新剑桥学派认为这个式子就像阶级斗争）

总结

关于现在的经济学与数学的关系。

我感觉争议在于所谓经济学的直觉是什么？例如国外的这道考试题，先让你自己算，算出来后再自己看，算完后再用直觉去思考。此时数学和经济学推理是相辅相成的。

经济学直觉是什么？ 真的有所谓反直觉的研究吗？

我目前感觉是——直觉是对要素变化趋势的把握。大致上能知道一个要素在市场体系中的影响方向和权重地位。

我也赞同《富种起源》中的一句话，科学最美妙的地方在于看前觉得不可思议，分析完后却觉得不得不如此。

许多人会引用马克思的一句话——一种科学只有成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

其实这句话是在拉法格的回忆录中出现的，是拉法格说马克思说过这句话。马克思并未在自己的著作中表达过相关的观点。不过马克思的数学至少是学到了泰勒展开的。有趣的是，马克思虽然学了一部分微积分，但他没有意识到自己的极差地租有边际分析的思想。马克思也认为数学的神秘化倾向是推动其发展的原因之一。这些可以在《马克思的数学手稿》中找到证据。

经济学成功的数学其实是现象本质的一种抽象。通过科学的抽象揭示事物的内在机理。能做到离开定量的定性吗？虽然亚当斯密直接定性了，但是数学化后，大家对亚当斯密的定性才了解地更为清晰，从模糊的文字到严谨的数学描述其实是一条漫长的路，时间以世纪为单位。